En una sucesión recurrente cada término se calcula a partir de los anteriores. Así funcionan los intereses de un banco, la población de una especie y la sucesión de Fibonacci, que aparece hasta en las piñas.
Cada término se apoya en los anteriores
Una sucesión es recurrente cuando cada término se calcula a partir del anterior (o de varios anteriores). Para que quede definida hacen falta dos cosas:
- El primer término (o los primeros).
- La regla que lleva de unos a otros.
a1 = 3 y an = an−1 + 4
Esa regla se lee: «cada término es el anterior más 4». Y da 3, 7, 11, 15, 19, …
La sucesión de Fibonacci
La más famosa de todas usa dos términos anteriores:
a1 = 1, a2 = 1 y an = an−1 + an−2
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Cada término es la suma de los dos anteriores. Aparece en la disposición de las semillas de un girasol, en las espirales de una piña y en la cría de conejos con la que Fibonacci la presentó en 1202.
Recurrente frente a general
| Recurrencia | Término general | |
|---|---|---|
| Para el término 5 | fácil: cuatro pasos | fácil: una sustitución |
| Para el término 100 | 99 pasos | una sustitución |
| Para ver el patrón | muy claro | menos evidente |
Por eso interesa pasar de la recurrencia al término general siempre que se pueda. En las progresiones de las próximas sesiones se podrá siempre.
Otros ejemplos de recurrencia
- a1 = 2 y an = 3 · an−1 → 2, 6, 18, 54, …
- a1 = 1 y an = 2 · an−1 + 1 → 1, 3, 7, 15, 31, …
- a1 = 40 y an = an−1 : 2 → 40, 20, 10, 5; …
Aplicar la regla una sola vez para llegar a un término lejano. En una recurrente hay que recorrer todos los pasos intermedios.
aₙ = aₙ₋₁ + 4 con a₁ = 3 → a₄ = 3 + 4 = 7a₂ = 7, a₃ = 11, a₄ = 15Por eso, cuando se pide el término 100, conviene buscar antes el término general.