Racionalizar denominadores

Racionalizar es quitar las raíces del denominador. Se hace porque un número dividido entre una raíz es incómodo de estimar y de comparar, y porque es la forma en que se entregan los resultados.

Quitar la raíz de abajo

Racionalizar es transformar una fracción para que en el denominador no quede ninguna raíz. El valor no cambia: cambia la forma.

1√2 = √22

Se ha multiplicado arriba y abajo por √2: abajo queda √2 · √2 = 2, y arriba aparece el √2.

Por qué se hace

Antes de las calculadoras era la única forma de operar: dividir entre 1,4142 a mano es un suplicio y dividir entre 2 no. Hoy se sigue pidiendo porque deja la expresión en una forma única, y así dos respuestas correctas se ven iguales.

Caso 1: una sola raíz abajo

Se multiplica arriba y abajo por esa misma raíz:

6√3 = 6√33 = 2√3

Fíjate en el último paso: 6 : 3 = 2. Después de racionalizar casi siempre queda algo que simplificar.

Caso 2: con coeficiente

102√5 = 10√52 · 5 = 10√510 = √5

Caso 3: una suma abajo

Con 1√3 + 1 no basta multiplicar por √3: quedaría otra raíz suelta. Se multiplica por el conjugado, que es la misma expresión con el signo cambiado:

(√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1 = 2

Es la identidad notable (a + b)(a − b) = a² − b², que aquí hace desaparecer la raíz porque al elevar al cuadrado se va.

1√3 + 1 = √3 − 12