No todas las raíces existen entre los números reales, y lo que lo decide es si el índice es par o impar. Es una de esas reglas cortas que evitan escribir barbaridades en un examen.
El índice decide
Con la raíz cuadrada ya se vio que √-9 no existe. Con índices mayores la regla depende de si el índice es par o impar, y el motivo está en el signo de las potencias.
Índice impar: siempre existe
Una potencia de exponente impar conserva el signo de la base: (−2)3 = −8. Por eso:
3√-8 = −2 · 3√8 = 2 · 5√-32 = −2
La raíz de índice impar de un número negativo existe y es negativa. No hay ningún caso problemático.
Índice par: el radicando no puede ser negativo
Una potencia de exponente par sale siempre positiva o cero: 32 = 9 y (−3)2 = 9 también. Así que ningún número elevado a un exponente par da −9:
√-9 no existe · 4√-16 no existe
El signo del resultado
| Índice | Radicando | ¿Existe? | Signo |
|---|---|---|---|
| par | positivo | sí | positivo |
| par | negativo | no | — |
| impar | positivo | sí | positivo |
| impar | negativo | sí | negativo |
La raíz cuadrada y las dos soluciones
Hay que distinguir dos preguntas que se confunden todo el rato:
- √25 = 5. La raíz cuadrada es una operación con un resultado, y es el positivo.
- x2 = 25 tiene dos soluciones: 5 y −5.
Por eso al resolver una ecuación se escribe x = ±5, con el signo doble, y al calcular una raíz no.
Y el cero
n√0 = 0 con cualquier índice, porque 0 elevado a lo que sea da 0.
Descartar todas las raíces de números negativos. Con índice impar sí existen, porque un número negativo multiplicado un número impar de veces sigue siendo negativo.
∛(−8) no existe∛(−8) = −2, porque (−2)·(−2)·(−2) = −8Lo que no existe es √(−4): con índice par, ningún real elevado da negativo.