Un intervalo es un trozo de la recta real, y es la forma en la que se escriben las soluciones de las inecuaciones que llegan en la unidad 6. Aquí se aprende el idioma.
Un intervalo es un trozo de la recta
Cuando la solución de un problema no es un número suelto sino todos los de un tramo, se escribe con un intervalo. Es la notación que se usará en la unidad de inecuaciones.
Los cuatro tipos
| Nombre | Se escribe | Significa | ¿Entran los extremos? |
|---|---|---|---|
| Cerrado | [2, 5] | 2 ≤ x ≤ 5 | los dos |
| Abierto | (2, 5) | 2 < x < 5 | ninguno |
| Semiabierto | [2, 5) | 2 ≤ x < 5 | solo el 2 |
| Semiabierto | (2, 5] | 2 < x ≤ 5 | solo el 5 |
El intervalo [2, 5): el 2 entra (punto relleno) y el 5 no (punto hueco).
Semirrectas: cuando un lado no acaba
Si el tramo se prolonga sin fin se usa el símbolo ∞, que nunca lleva corchete: el infinito no es un número al que se pueda llegar.
| Se escribe | Significa |
|---|---|
| [3, +∞) | x ≥ 3 |
| (3, +∞) | x > 3 |
| (−∞, 4] | x ≤ 4 |
| (−∞, 4) | x < 4 |
La semirrecta [3, +∞): empieza en el 3, que sí entra, y sigue hacia la derecha sin acabar.
Del valor absoluto al intervalo
|x| < 3 son los números a menos de 3 del cero, o sea el intervalo (−3, 3). En general:
|x − a| < r ⇔ x ∈ (a − r, a + r)
Con |x − 5| < 2 salen los números entre 3 y 7: el intervalo (3, 7), centrado en 5 y de radio 2.
Dos datos que se piden a menudo
- La amplitud de [a, b] es b − a: lo que mide el tramo.
- El centro es la media, (a + b) : 2.
En [2, 8]: amplitud 6 y centro 5. Y ese intervalo es exactamente |x − 5| ≤ 3.
Cerrar el corchete en el infinito. El infinito no es un número, así que nunca se puede incluir: siempre lleva paréntesis.
(−∞, 3] se puede escribir [−∞, 3](−∞, 3]: el 3 entra, el infinito noEn el dibujo: punto relleno para el extremo que entra, hueco para el que no.