El valor absoluto mide distancia, y por eso nunca es negativo. Es la herramienta con la que se escriben los márgenes de error y los intervalos de tolerancia de cualquier fábrica.
El valor absoluto es la distancia al cero
El valor absoluto de un número es lo que mide desde el cero, sin mirar hacia qué lado está:
|7| = 7 · |−7| = 7 · |0| = 0
−3 y 3 están a la misma distancia del cero: los dos tienen valor absoluto 3.
Cómo se calcula
- Si el número es positivo o cero, se queda igual: |5| = 5.
- Si es negativo, se le quita el signo: |−5| = 5.
Con una operación dentro, primero se opera y después se quita el signo: |3 − 8| = |−5| = 5.
La distancia entre dos números
La distancia entre dos puntos de la recta es el valor absoluto de su diferencia:
d(a, b) = |b − a|
Entre −3 y 5: d = |5 − (−3)| = |8| = 8. Y da igual el orden, porque el valor absoluto se come el signo: |−3 − 5| = |−8| = 8 también.
Ecuaciones con valor absoluto
|x| = 6 tiene dos soluciones: x = 6 y x = −6, porque los dos están a distancia 6 del cero.
|x − 2| = 5 se lee «los números que están a distancia 5 del 2», y son:
2 + 5 = 7 y 2 − 5 = −3
Y |x| = −3 no tiene solución: no hay ningún número a distancia negativa del cero.
Tres propiedades útiles
| Propiedad | Ejemplo |
|---|---|
| |a| ≥ 0 siempre | |−9| = 9 |
| |−a| = |a| | |−4| = |4| = 4 |
| |a · b| = |a| · |b| | |−2 · 3| = 2 · 3 = 6 |
La que no vale es la suma: |3 + (−5)| = 2, pero |3| + |−5| = 8. No son lo mismo.
Dar una sola solución a una ecuación con valor absoluto. Si la distancia al cero es 5, hay dos números que lo cumplen.
|x| = 5 → x = 5|x| = 5 → x = 5 o x = −5Y |x − 3| = 2 significa «los que están a distancia 2 del 3»: x = 5 y x = 1.