Juntando racionales e irracionales sale ℝ, el conjunto de los números reales, y con él la recta numérica se completa: no queda ni un solo agujero. Esa es la idea grande de la unidad.
Juntando los dos grupos salen los reales
Los números reales (R) son todos los racionales y todos los irracionales juntos:
R = Q ∪ I
Y con eso el mapa queda completo:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Los irracionales (I) están dentro de R, pero fuera de Q: un número no puede ser racional e irracional a la vez.
La recta real no tiene agujeros
A cada punto de una recta le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto. Ni sobra ni falta ninguno.
Cada punto de la recta es un número real, y cada número real ocupa un punto.
Si solo existieran los racionales, la recta estaría llena de agujeros: justo donde va √2 no habría nada. Los irracionales son los que rellenan esos huecos.
Dibujar un irracional con regla y compás
√2 no se puede escribir con cifras, pero sí se puede señalar exactamente en la recta. Se usa el teorema de Pitágoras: un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1 tiene hipotenusa √2, y esa longitud se lleva a la recta con el compás.
12 + 12 = 2 → hipotenusa = √2
Con catetos 2 y 1 sale √5; con 3 y 2 sale √13. Cualquier raíz se puede construir así.
Entre dos reales siempre hay otro
Entre 2 y 3 no hay ningún entero, pero hay infinitos reales: 2,5; 2,7; 2,71… Y entre 2,5 y 2,6, otros infinitos. Se dice que R es denso.
El truco para encontrar uno entre dos números dados es la media: entre 1,2 y 1,3 está (1,2 + 1,3) : 2 = 1,25.
Un resumen que conviene memorizar
| Número | N | Z | Q | R |
|---|---|---|---|---|
| 7 | sí | sí | sí | sí |
| −7 | no | sí | sí | sí |
| 34 | no | no | sí | sí |
| √2 | no | no | no | sí |
Pensar que un irracional no tiene sitio exacto en la recta porque no se puede escribir entero. Su posición es exacta aunque sus cifras no se acaben.
√2 está «más o menos» en 1,41; su sitio exacto no existe√2 es exactamente la diagonal de un cuadrado de lado 1, y se puede dibujar con regla y compásCada punto de la recta es un número real, y cada número real es un punto. Sin huecos.