Hay números que ninguna fracción puede escribir: π, √2, el número de oro. No son un caso raro de laboratorio, están en la diagonal de un cuadrado y en cualquier circunferencia.
Hay números que no son ninguna fracción
Parece que con los racionales ya está todo: enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos. Pues no. Existen números que no se pueden escribir como fracción de enteros, y se llaman irracionales.
El más famoso es √2 = 1,41421356… Sus cifras no se acaban nunca y no repiten ningún periodo.
Cómo se distingue uno de un racional
| Tipo de decimal | Ejemplo | ¿Qué es? |
|---|---|---|
| Finito (exacto) | 3,25 | racional |
| Infinito periódico | 2,36 | racional |
| Infinito no periódico | 1,41421356… | irracional |
Los irracionales que hay que reconocer
- Las raíces no exactas: √2, √3, √5, √7… Si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz es irracional.
- π = 3,14159265…, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
- El número áureo φ = 1,61803398…
- Números construidos a propósito, como 0,1010010001… (cada vez un cero más: infinitas cifras, y nunca se repite un bloque).
Ojo con las raíces que sí son exactas
√9 = 3 es un entero, no un irracional. Y √0.25 = 0,5 tampoco lo es. Antes de decidir hay que comprobar si el radicando es un cuadrado perfecto:
√1 = 1 · √4 = 2 · √9 = 3 · √16 = 4 · √25 = 5 · √36 = 6 · √49 = 7
Por qué √2 no puede ser una fracción
La demostración completa se ve en cursos superiores, pero la idea se entiende: si √2 fuera una fracción irreducible ab, elevando al cuadrado saldría a2 = 2b2. Eso obliga a que a sea par, y de ahí sale que b también lo es. Pero entonces la fracción no era irreducible: contradicción. No existe tal fracción.
Fue el descubrimiento que rompió las matemáticas griegas: creían que todo era proporción de enteros, y la diagonal de un cuadrado de lado 1 les demostró que no.
Con calculadora no se distingue
La pantalla enseña ocho o diez cifras y luego corta. 0,3 y √2 se ven igual de «infinitos» ahí. Lo que decide es de dónde sale el número, no lo que muestre la pantalla.
Dar por irracional cualquier número escrito con una raíz. Lo que decide no es el símbolo: es si la raíz sale exacta.
√9 es irracional porque lleva raíz√9 = 3, que es natural. √2 sí es irracionalRegla práctica: si el radicando es un cuadrado perfecto, la raíz es racional.