La probabilidad de que ocurra «A o B» no siempre es sumar: si los dos pueden pasar a la vez, los casos comunes se estarían contando dos veces. De ahí sale la fórmula de la unión.
La fórmula general
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se suman las dos probabilidades y se resta la de la intersección, porque los casos comunes se han contado dos veces.
Un ejemplo
Con un dado, A = «par» y B = «mayor que 3»:
- P(A) = 36 = 0,5
- P(B) = 36 = 0,5
- P(A ∩ B) = 26 (el 4 y el 6)
- P(A ∪ B) = 0,5 + 0,5 − 26 = 46 ≈ 0,67
Sin restar la intersección saldría 1, que sería decir que siempre ocurre una de las dos cosas: falso, porque con un 1 o un 3 no ocurre ninguna.
Si son incompatibles, la resta desaparece
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Por eso la probabilidad de «sacar un 1 o un 6» es 16 + 16 = 26: son sucesos que no pueden ocurrir a la vez.
El «o» del lenguaje corriente
En matemáticas, «A o B» incluye la posibilidad de que ocurran los dos. «Que salga par o mayor que 3» se cumple con un 4, aunque cumpla las dos condiciones. El «o exclusivo» del lenguaje corriente («o esto o lo otro, pero no las dos») es otra cosa.
Cómo evitar el error
Antes de sumar probabilidades, preguntarse: ¿pueden ocurrir los dos a la vez? Si la respuesta es sí, hay que restar la intersección.
Sumar las dos probabilidades sin más. Solo se puede sumar directamente cuando los sucesos son incompatibles, es decir, cuando no pueden ocurrir a la vez.
P(par o mayor que 3) = 3/6 + 3/6 = 1P = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 (el 4 y el 6 están en los dos)Prueba de humo: si te sale una probabilidad mayor que 1, seguro que has contado algo dos veces.