Dos grupos pueden tener la misma media y no parecerse en nada. La desviación típica mide cuánto se separan los datos de esa media, y es la medida de dispersión que se usa en todas partes.
Dos grupos con la misma media
Notas apretadas alrededor del 5: media 5 y desviación típica pequeña. Con notas de 0 y 10 la media sería la misma y la dispersión, enorme.
Grupo A: 5, 5, 5, 5, 5. Grupo B: 1, 3, 5, 7, 9. Los dos tienen media 5, y no se parecen en nada. Hace falta una medida de dispersión.
La idea: cuánto se separa cada dato de la media
Se calculan las diferencias con la media y se resumen en un número. Pero hay un problema: esas diferencias suman siempre cero (las positivas se comen a las negativas). Hay dos formas de arreglarlo:
| Medida | Cómo | Fórmula |
|---|---|---|
| Desviación media | valor absoluto | Σ |xi − x̄|N |
| Varianza | al cuadrado | Σ (xi − x̄)2N |
La desviación típica
σ = √varianza
La varianza queda en unidades al cuadrado (euros al cuadrado, centímetros al cuadrado), que no significan nada. Sacando la raíz se vuelve a las unidades originales, y por eso la desviación típica es la medida que se usa siempre.
Un ejemplo completo
Datos: 1, 3, 5, 7, 9. Media 5.
| xi | xi − 5 | (xi − 5)2 |
|---|---|---|
| 1 | −4 | 16 |
| 3 | −2 | 4 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Suma | 40 | |
Varianza = 40 : 5 = 8. Desviación típica = √8 ≈ 2,83.
Lo que hay que recordar
- Las dos medidas son siempre positivas o cero.
- Valen cero solo si todos los datos son iguales.
- Cuanto mayores, más repartidos están los datos.
Entregar la varianza como si fuera la desviación típica. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, y por eso va en las mismas unidades que los datos.
Varianza 9 → desviación típica 9σ = √9 = 3Se nota en las unidades: si los datos son euros, la varianza sale en euros al cuadrado y la típica, en euros.