La esfera es el cuerpo más simétrico que existe, y sus dos fórmulas conviene sabérselas: son las que aparecen desde aquí hasta la universidad, y también en el problema de la Tierra.
Las dos fórmulas
La esfera inscrita en un cilindro de la misma altura ocupa exactamente dos tercios de su volumen: lo descubrió Arquímedes.
A = 4πR2 V = 4πR33
El área de una esfera es exactamente cuatro veces el área de su círculo máximo, y eso es un resultado nada evidente que ya conocía Arquímedes.
Las partes que hay que saber nombrar
| Parte | Qué es |
|---|---|
| Círculo máximo | la sección que pasa por el centro |
| Casquete esférico | el trozo que queda a un lado de un corte |
| Zona esférica | la franja entre dos cortes paralelos |
| Huso esférico | el gajo entre dos semicírculos máximos |
| Semiesfera | la mitad, cortando por el centro |
Los nombres importan porque son los mismos que se usan en la Tierra: el ecuador es un círculo máximo, los husos horarios son husos esféricos y los casquetes polares son casquetes.
El huso esférico
Un huso de n grados es la fracción n360 de la esfera:
Ahuso = n360 · 4πR2 · Vcuña = n360 · 4πR33
Un ejemplo
Esfera de 6 cm de radio:
- Área: 4π · 36 = 144π ≈ 452,39 cm².
- Volumen: 4π · 2163 = 288π ≈ 904,78 cm³.
- Huso de 30°: 30360 = 112 del área total ≈ 37,7 cm².
La esfera dentro del cilindro
Arquímedes descubrió que una esfera inscrita en un cilindro ocupa dos tercios de su volumen, y pidió que grabaran esa figura en su tumba. Con radio R, el cilindro mide 2πR3 y la esfera 4πR33: la razón es 23 ✓.
Cambiar el exponente entre las dos fórmulas. El área lleva r² (es una superficie) y el volumen, r³ (ocupa espacio).
V esfera = 4πr² / 3V = 4πr³/3, y A = 4πr²Las unidades lo confirman: el área sale en cm² y el volumen en cm³.