Este es el error más caro de toda la geometría, y el más útil de entender: al ampliar una figura, las áreas crecen mucho más deprisa que los lados, y los volúmenes todavía más.
Lo que más se falla de toda la geometría
· sus longitudes están en razón k
· sus áreas, en razón k2
· sus volúmenes, en razón k3
Por qué
Un cuadrado de lado 2 tiene área 4. Si se dobla el lado (razón 2), el lado pasa a 4 y el área a 16: cuatro veces más, que es 22.
Con un cubo de arista 2, el volumen es 8; doblando la arista, el volumen pasa a 64: ocho veces más, que es 23.
| Razón k | Longitudes | Áreas | Volúmenes |
|---|---|---|---|
| 2 | ×2 | ×4 | ×8 |
| 3 | ×3 | ×9 | ×27 |
| 0,5 | ×0,5 | ×0,25 | ×0,125 |
| 10 | ×10 | ×100 | ×1.000 |
El perímetro va con las longitudes
El perímetro es una suma de longitudes, así que se multiplica por k, no por k2. Solo el área lleva el cuadrado.
Un ejemplo práctico
Una maqueta a escala 1:50 de un edificio:
- Las alturas son 50 veces menores.
- Las superficies de las paredes, 2.500 veces menores.
- El volumen, 125.000 veces menor.
Por eso una maqueta que cabe en una mesa puede representar un edificio entero.
Al revés: de las áreas a la razón
Si dos figuras semejantes tienen áreas 9 cm² y 36 cm², la razón entre las áreas es 4, así que la razón de semejanza es √4 = 2. Para volver a las longitudes hay que sacar la raíz cuadrada; y desde volúmenes, la raíz cúbica.
Aplicar la razón de semejanza a las áreas. Las longitudes van con k, las áreas con k² y los volúmenes con k³.
Razón 3 → el área es el tripleRazón 3 → el área es 9 veces mayor y el volumen, 27Y al revés: si las áreas están en razón 16, la razón de semejanza es √16 = 4.