Cada cateto se relaciona con su propia proyección sobre la hipotenusa. Junto con la altura y con Pitágoras, ya son tres herramientas para el mismo triángulo, y hay que saber cuál toca.
Cada cateto con su proyección
En el mismo dibujo de la sesión anterior, cada cateto se relaciona con el trozo de hipotenusa que queda debajo de él (su proyección):
b2 = a · m y c2 = a · n
donde a es la hipotenusa entera y m, n son las proyecciones de cada cateto.
Un ejemplo
Hipotenusa 25, dividida en trozos de 9 y 16:
- Cateto sobre el trozo 9: b2 = 25 · 9 = 225 → b = 15.
- Cateto sobre el trozo 16: c2 = 25 · 16 = 400 → c = 20.
Comprobación con Pitágoras: 152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252 ✓.
Los tres teoremas juntos
| Teorema | Fórmula | Relaciona |
|---|---|---|
| Pitágoras | a2 = b2 + c2 | los tres lados |
| De la altura | h2 = m · n | altura y trozos |
| Del cateto | b2 = a · m | cateto, hipotenusa y su proyección |
Los tres salen de la misma figura y de la misma idea (la semejanza), y entre los tres permiten calcular cualquier medida del triángulo rectángulo conociendo dos.
Cómo elegir cuál usar
- Si el dato que falta es la altura: teorema de la altura.
- Si es un cateto y se conocen la hipotenusa y su proyección: teorema del cateto.
- Si se conocen los dos catetos o un cateto y la hipotenusa: Pitágoras.
Cambiar las dos fórmulas. En el teorema del cateto se multiplica por la hipotenusa entera; en el de la altura, por el otro trozo.
b² = m · nb² = a · m (hipotenusa por la proyección de ese cateto)Regla para elegir: si en el dato aparece la altura, teorema de la altura; si aparece un cateto, teorema del cateto.