No todos los sistemas tienen solución, y algunos tienen infinitas. Reconocer cuál es cuál —y saber qué se responde en cada caso— es lo que se pregunta en los exámenes de este tema.
Los tres tipos
| Tipo | Soluciones | Rectas |
|---|---|---|
| Compatible determinado | una | se cortan |
| Compatible indeterminado | infinitas | coinciden |
| Incompatible | ninguna | paralelas |
Compatible significa que tiene solución; determinado, que es una sola.
Cómo se reconocen al resolver
Al aplicar cualquier método algebraico, si se cancelan las dos incógnitas a la vez, hay que leer lo que queda:
| Al operar queda… | El sistema es… |
|---|---|
| x = número (y y = número) | compatible determinado |
| algo cierto, como 0 = 0 | compatible indeterminado |
| algo falso, como 0 = 5 | incompatible |
Un incompatible
x + y = 52x + 2y = 12Multiplicando la primera por 2: 2x + 2y = 10. Restando la segunda: 0 = −2, que es falso. No hay solución.
Y tiene sentido: la primera dice que x + y vale 5, así que 2x + 2y tiene que valer 10, no 12. Las dos condiciones se contradicen.
Un indeterminado
x + y = 52x + 2y = 10Aquí la segunda es la primera multiplicada por 2: no aporta nada nuevo. Al reducir queda 0 = 0. Hay infinitas soluciones: todas las de x + y = 5.
Reconocerlo antes de operar
Comparando los coeficientes de las dos ecuaciones a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2:
| Si… | El sistema es… |
|---|---|
| a1a2 ≠ b1b2 | compatible determinado |
| las tres razones son iguales | compatible indeterminado |
| las de a y b coinciden pero la de c no | incompatible |
En el incompatible de arriba: 12 = 12 pero 512 es distinto. En el indeterminado, 12 = 12 = 510: las tres coinciden.
Qué se responde
Si es incompatible, se escribe «el sistema no tiene solución». Si es indeterminado, «tiene infinitas soluciones», y se puede dar la relación entre ellas: todas las parejas con y = 5 − x.
Interpretar como «no hay solución» cualquier caso en que desaparezcan las incógnitas. Depende de lo que quede: si es cierto, hay infinitas; si es falso, ninguna.
Queda 0 = 0, así que el sistema no tiene solución0 = 0 es cierto → infinitas soluciones (las dos ecuaciones son la misma recta)Y si quedara 0 = 7, que es falso, entonces sí: incompatible, sin solución.