La reducción es el método que se usa de verdad cuando los números son feos: se prepara el sistema para que al sumar o restar desaparezca una incógnita. Es el que se generaliza en Bachillerato.
La idea
Sumar o restar las dos ecuaciones para que una incógnita desaparezca. Es el método más rápido cuando se puede aplicar, y el que menos ocasiones de error da porque casi no hay que despejar nada.
El caso fácil: coeficientes opuestos
x + y = 10x − y = 4La y lleva +1 y −1. Sumando las dos ecuaciones, la y se va:
2x = 14 → x = 7
Y sustituyendo en cualquiera: y = 3. Solución (7, 3).
El caso fácil: coeficientes iguales
3x + 2y = 16x + 2y = 8La y lleva +2 en las dos. Restando la segunda de la primera:
2x = 8 → x = 4
Y de la segunda: 4 + 2y = 8, así que y = 2.
El caso general: preparar los coeficientes
Casi nunca vienen iguales ni opuestos. Se multiplican las ecuaciones por lo que haga falta:
2x + 3y = 123x + y = 11Para eliminar la y, multiplico la segunda por 3:
2x + 3y = 129x + 3y = 33Restando: −7x = −21, así que x = 3. Y de la segunda original: 9 + y = 11, o sea y = 2.
Multiplicar toda la ecuación
Cuál eliminar
La que salga más barato. Si los coeficientes de una incógnita son 2 y 3, se multiplica por 3 y por 2 (m.c.m. 6). Si son 2 y 4, basta multiplicar la primera por 2. Buscar el m.c.m. de los dos coeficientes deja los números lo más pequeños posible.
Multiplicar una ecuación por un número y dejarse el término independiente. Se multiplican todos los términos, los dos miembros enteros.
3x + 2y = 12, por 2 → 6x + 4y = 126x + 4y = 24Es la regla de la balanza: si multiplicas un platillo, tienes que multiplicar el otro.