Un sistema son dos ecuaciones que tienen que cumplirse a la vez. Y su solución no es un número: es una pareja de números, uno para cada incógnita.
Dos ecuaciones a la vez
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones que hay que cumplir al mismo tiempo:
x + y = 10x − y = 4Cada una por separado tiene infinitas soluciones. Lo que se busca es la pareja que sirva para las dos.
La solución es un par ordenado
En el ejemplo, la solución es (7, 3):
- Primera: 7 + 3 = 10 ✓
- Segunda: 7 − 3 = 4 ✓
Por qué dos ecuaciones fijan la solución
Cada ecuación es una condición. Una sola deja infinitas parejas posibles; la segunda recorta esa lista hasta dejar (normalmente) una sola. Es como decir «dos números suman 10»: hay infinitos. Añadir «y se diferencian en 4» deja solo uno.
Qué se pide y qué se responde
Resolver un sistema es dar los dos valores. Una respuesta que solo diga «x = 7» está a medias: falta la y. Se escribe así:
x = 7, y = 3 o bien (7, 3)
Los tres métodos algebraicos
| Método | Idea | Va bien cuando… |
|---|---|---|
| Sustitución | despejar una incógnita y meterla en la otra | una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1 |
| Igualación | despejar la misma incógnita en las dos e igualar | la misma incógnita se despeja fácil en las dos |
| Reducción | sumar o restar las ecuaciones para que una incógnita desaparezca | los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos |
Los tres dan el mismo resultado: son caminos distintos al mismo sitio. Elegir bien solo ahorra tiempo.
Y uno gráfico
Cada ecuación se dibuja como una recta, y la solución es el punto donde se cortan. Es la interpretación que explica por qué a veces no hay solución (rectas paralelas) o hay infinitas (la misma recta dos veces). Se ve en la sesión 6.
Contestar solo el valor de x. La solución de un sistema es el par, y un ejercicio a medias no vale ni la mitad.
x = 4, ya estáx = 4 e y = 1, o sea la solución (4, 1)Y se comprueba en las dos ecuaciones: cumplir una sola no basta.