Si conoces las soluciones puedes reconstruir la ecuación, y si conoces la ecuación puedes saber cuánto suman y cuánto multiplican sus soluciones sin resolverla. Sirve para comprobar y para resolver de cabeza.
De las soluciones a la ecuación
Si una ecuación de segundo grado tiene soluciones p y q, se puede escribir factorizada:
a(x − p)(x − q) = 0
Con soluciones 3 y 2, y a = 1:
(x − 3)(x − 2) = 0 → x2 − 5x + 6 = 0
Suma y producto de las soluciones
Desarrollando (x − p)(x − q) sale x2 − (p + q)x + pq. Comparando con x2 + bx + c = 0:
| Relación | Fórmula |
|---|---|
| Suma de las soluciones | p + q = −b |
| Producto de las soluciones | p · q = c |
(Válido cuando a = 1. Si no, hay que dividir toda la ecuación entre a primero.)
Para qué sirve
Para comprobar soluciones en cinco segundos, sin sustituir. En x2 − 5x + 6 = 0, las soluciones son 3 y 2:
- Suma: 3 + 2 = 5 = −(−5) ✓
- Producto: 3 · 2 = 6 ✓
Si una de las dos no cuadra, hay un error, y se sabe sin rehacer la cuenta entera.
Y para resolver de cabeza
Con coeficientes pequeños se pueden adivinar las soluciones: dos números que sumen −b y multipliquen c.
x2 − 7x + 12 = 0 → ¿dos números que sumen 7 y multipliquen 12? → 3 y 4
Es mucho más rápido que la fórmula, y en un examen ahorra minutos. Si no se encuentran a la primera, se usa la fórmula y ya está.
Construir una ecuación con las soluciones que se quieran
Para soluciones 5 y −2:
suma = 3, producto = −10 → x2 − 3x − 10 = 0
Fíjate en que b es el opuesto de la suma y c es el producto tal cual.
Olvidar el signo menos en la suma de las soluciones. La suma es −b/a; el producto sí es c/a tal cual.
En x² − 5x + 6 = 0 la suma de las soluciones es −5Suma = −(−5)/1 = 5 y producto = 6/1 = 6 (las soluciones son 2 y 3)Es la mejor comprobación que existe: si tus dos soluciones no suman −b/a, hay un error.