En los problemas de segundo grado casi siempre salen dos soluciones y casi siempre solo una sirve. Descartar la imposible —una edad negativa, un lado de −4 cm— es parte del ejercicio, no un extra.
Cuándo aparece una ecuación de segundo grado
Siempre que en el problema haya un producto de dos cosas que dependen de la incógnita. Los casos típicos:
| Situación | Por qué sale de segundo grado |
|---|---|
| Áreas | base · altura, y las dos dependen de x |
| Producto de dos números | x · (algo con x) |
| Teorema de Pitágoras | los lados van al cuadrado |
| Números consecutivos multiplicados | x(x + 1) |
Un ejemplo completo
«Un rectángulo tiene la base 3 cm mayor que la altura y su área es 40 cm².»
- x = altura. Base = x + 3.
- Área: x(x + 3) = 40.
- Desarrollando: x2 + 3x = 40, es decir x2 + 3x − 40 = 0.
- Δ = 9 + 160 = 169, y √169 = 13. Soluciones: x = 5 y x = −8.
- Se descarta el −8: una altura no puede ser negativa.
Respuesta: altura 5 cm y base 8 cm. Comprobación: 5 · 8 = 40 cm². ✓
El paso que no está en la ecuación
Cuándo valen las dos
Si la incógnita es un número sin más («halla dos números cuyo producto sea…»), las dos soluciones pueden ser válidas y hay que dar las dos. Lo que decide es qué representa la x, no la ecuación.
Números consecutivos
«El producto de dos números consecutivos es 156.»
x(x + 1) = 156 → x2 + x − 156 = 0
Δ = 1 + 624 = 625, √625 = 25, y las soluciones son 12 y −13. Los pares posibles son 12 y 13 (y también −13 y −12, si el enunciado admite negativos).
La comprobación final
Sustituir en el enunciado, no en la ecuación. Si el problema decía «área 40 cm²», hay que ver que el rectángulo resultante mide 40 cm². Así se caza tanto un error de cuentas como uno de planteamiento.
Escribir mal los números consecutivos al plantear. Consecutivos van de uno en uno; de dos en dos son los pares o los impares.
«Dos consecutivos cuyo producto es 56» → x · (x + 2) = 56x · (x + 1) = 56 → x² + x − 56 = 0 → x = 7 (y −8, que se descarta)Comprueba en el enunciado, no en tu ecuación: 7 · 8 = 56 ✓