El discriminante es lo de dentro de la raíz, y decide cuántas soluciones habrá antes de calcular ninguna. En la gráfica se ve clarísimo: es cuántas veces corta la parábola al eje horizontal.
El número que decide
y = x² − 3x corta al eje X en 0 y en 3: son las dos soluciones de x² − 3x = 0. Si la parábola no llegara a tocarlo, no habría solución.
Lo que hay dentro de la raíz de la fórmula se llama discriminante y se escribe con la letra griega delta:
Δ = b2 − 4ac
Su signo dice cuántas soluciones hay, sin necesidad de terminar de resolver la ecuación.
| Si Δ es… | Soluciones | Por qué |
|---|---|---|
| positivo (Δ > 0) | dos | la raíz existe y el ± da dos valores distintos |
| cero (Δ = 0) | una | ±0 no cambia nada: los dos valores coinciden |
| negativo (Δ < 0) | ninguna | no hay raíz cuadrada de un número negativo |
Los tres casos con ejemplos
x2 − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → dos soluciones: 3 y 2
x2 − 6x + 9 = 0 → Δ = 36 − 36 = 0 → una solución: 3
x2 + x + 5 = 0 → Δ = 1 − 20 = −19 < 0 → ninguna solución
Para qué sirve saberlo antes
Para no perder el tiempo. Si Δ sale negativo, la ecuación no tiene solución y no hay nada más que hacer: no hay que seguir operando ni buscar el error. Y en un problema con contexto, que Δ salga negativo suele significar que la situación descrita es imposible.
El caso Δ = 0 tiene nombre
Se dice que hay una solución doble. Ocurre cuando la ecuación viene de un cuadrado perfecto:
x2 − 6x + 9 = 0 es (x − 3)2 = 0
Aquí se ve por qué la solución es única: el único número cuyo cuadrado es cero es el cero, así que x − 3 = 0 y x = 3. Las identidades notables de la unidad 6 sirven para reconocer estos casos de un vistazo.
Cuidado con el signo de c
x2 + x − 6 = 0 → Δ = 1 + 24 = 25 > 0 → dos soluciones
Confundir «discriminante cero» con «sin solución». Con Δ = 0 sí hay solución: una sola, que se llama doble.
Δ = 0 → la ecuación no tiene soluciónΔ = 0 → una única solución, x = −b / 2aLas tres opciones: Δ > 0 dos soluciones, Δ = 0 una, Δ < 0 ninguna.