La fórmula general resuelve todas las ecuaciones de segundo grado, completas o no. Es la fórmula más usada de la ESO, y merece la pena escribirla siempre entera antes de sustituir.
La fórmula que resuelve todas
x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
Sirve para cualquier ecuación de segundo grado, completa o no. Con las incompletas es más lenta que los métodos de las sesiones anteriores, pero nunca falla.
Cómo se usa
- Se ordena la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.
- Se identifican a, b y c con su signo.
- Se sustituye en la fórmula y se opera con cuidado.
- Se calculan las dos soluciones, una con + y otra con −.
- Se comprueban en la ecuación original.
Un ejemplo completo
x2 − 5x + 6 = 0 con a = 1, b = −5, c = 6
x = −(−5) ± √((−5)2 − 4 · 1 · 6)2 · 1 = 5 ± √(25 − 24)2 = 5 ± 12
- Con +: x = 62 = 3
- Con −: x = 42 = 2
Comprobación: 9 − 15 + 6 = 0 ✓ y 4 − 10 + 6 = 0 ✓
Los tres errores que hay que vigilar
2. b2 es siempre positivo: (−5)2 = 25, no −25.
3. El 2a divide a todo, no solo a la raíz. Por eso la fórmula lleva una raya de fracción larga.
El paso de la raíz
Lo que hay dentro de la raíz, b2 − 4ac, se llama discriminante y decide cuántas soluciones hay. Es el tema de la sesión siguiente. Por ahora basta con calcularlo bien.
Cuando a es negativo
Conviene multiplicar toda la ecuación por −1 antes de empezar: cambia todos los signos y no altera las soluciones, pero deja los números más manejables.
−x2 + 3x + 4 = 0 → x2 − 3x − 4 = 0
Dividir entre 2a solo la raíz, y no el −b. La raya de fracción cubre todo el numerador.
x = −b ± (√Δ ÷ 2a)x = (−b ± √Δ) ÷ 2aEscribe la raya larga y encima los dos términos. Cuando la raya es corta, este error aparece solo.