Incompletas sin término independiente

Cuando no hay término independiente se puede sacar factor común, y ahí entra la herramienta más elegante del tema: si un producto vale cero, alguno de los factores vale cero.

La forma `ax`² + `bx` = 0

Se resuelven sacando factor común, tal como se aprendió en la unidad 6. Tampoco hace falta fórmula.

x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0

La regla del producto nulo

Un producto vale cero si y solo si vale cero alguno de sus factores. Si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0. No hay otra posibilidad, y esa es la idea que convierte una ecuación difícil en dos fáciles.

Aplicándola:

x = 0
x − 3 = 0, es decir, x = 3

Las dos soluciones son 0 y 3.

El cero siempre es solución

En este tipo de ecuación, x = 0 siempre lo es: al no haber término independiente, sustituyendo 0 todo se anula. Así que solo hay que buscar la otra.

El método completo

Se saca x factor común: x(ax + b) = 0.
Primera solución: x = 0.
Segunda: se resuelve ax + b = 0, que es de primer grado.

2x² + 8x = 0 → x(2x + 8) = 0 → x = 0 o x = −4

El error que hay que evitar a toda costa

Dividir los dos miembros entre x para «simplificar». En x² − 3x = 0, dividir entre x deja x − 3 = 0 y da solo x = 3: se ha perdido la solución 0. Y se ha perdido porque dividir entre x solo vale si x no es cero, que es justo lo que no se sabe todavía.

Por eso se saca factor común en lugar de dividir: así no se pierde nada.

Cuando el coeficiente es negativo

−x² + 5x = 0 → x(−x + 5) = 0 → x = 0 o x = 5

También se puede cambiar el signo de toda la ecuación primero (x² − 5x = 0), que es lo mismo y más cómodo de leer.

Dónde se lía todo el mundo

Leer mal el signo de la solución que sale de cada factor. Un factor (x − 3) se anula con x = 3, no con −3.

x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 y x = −3x = 0 y x = 3

Comprueba: 3² − 3·3 = 0 ✓, mientras que (−3)² − 3·(−3) = 9 + 9 = 18.

En una fraseEn ax² + bx = 0 se saca factor común la x y se iguala cada factor a cero; el 0 siempre es una de las soluciones.