Todo lo que se le puede hacer a una ecuación sale de una idea: es una balanza en equilibrio. La transposición —«pasar al otro lado»— no es una regla aparte, es el atajo de escribir eso.
La balanza
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: los dos platos pesan lo mismo. Se puede hacer cualquier cosa con ella siempre que se haga igual en los dos lados.
Regla 1: sumar o restar lo mismo en los dos miembros
x + 5 = 12
Restando 5 en los dos lados:
x + 5 − 5 = 12 − 5 → x = 7
Regla 2: multiplicar o dividir los dos miembros por lo mismo
3x = 21
Dividiendo entre 3 los dos lados:
3x3 = 213 → x = 7
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Aplicar las reglas anteriores siempre da una equivalente, y por eso resolver es una cadena de ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas:
2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4
Las tres tienen la misma solución. La última es la única que la enseña a simple vista, y por eso es la meta.
El atajo: la transposición de términos
Hacer la misma operación en los dos lados se resume en una frase: un término que cambia de miembro cambia de operación.
| Si está… | Pasa al otro lado… |
|---|---|
| sumando | restando |
| restando | sumando |
| multiplicando | dividiendo |
| dividiendo | multiplicando |
El error de la transposición
Un término solo se puede transponer si está sumando o restando en todo el miembro, o multiplicando o dividiendo a todo el miembro. En 2x + 3 = 11, el 2 no puede pasar dividiendo antes de quitar el 3, porque multiplica solo a la x y no a todo el primer miembro.
Primero: 2x = 8. Después: x = 82 = 4.
Dividir un solo término en vez de la ecuación entera. La regla dice que hay que dividir los dos miembros completos.
3x + 2 = 11 → x + 2 = 11/33x = 11 − 2 = 9 → x = 3Si divides antes de despejar, tienes que dividir también el 2: x + 2/3 = 11/3. Sale lo mismo, pero con más faena.