Tres productos salen tantas veces que compensa reconocerlos de memoria. Ahorran cuentas ahora y son imprescindibles para factorizar y para resolver ecuaciones más adelante.
Tres productos que salen tanto que conviene saberlos
| Nombre | Identidad |
|---|---|
| Cuadrado de una suma | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Cuadrado de una diferencia | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Suma por diferencia | (a + b)(a − b) = a2 − b2 |
No son reglas nuevas: son el resultado de multiplicar como en la sesión anterior. Lo que se gana es tiempo y seguridad.
El error que hay que erradicar
De dónde sale cada una
El cuadrado de una suma es multiplicar el binomio por sí mismo:
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Los dos términos del medio son semejantes y se juntan: de ahí el 2.
Y en la suma por diferencia, los términos del medio se anulan:
(a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2
Por eso el resultado solo tiene dos términos.
Ejemplos con números
| Expresión | Desarrollo |
|---|---|
| (x + 3)2 | x2 + 6x + 9 |
| (x − 5)2 | x2 − 10x + 25 |
| (2x + 1)2 | 4x2 + 4x + 1 |
| (x + 4)(x − 4) | x2 − 16 |
En el tercero, ojo: el cuadrado de 2x es 4x2, no 2x2. El coeficiente también se eleva.
Para qué sirven de verdad
Para reconocerlas al revés. Cuando en la unidad 8 aparezca x2 + 6x + 9, poder verlo como (x + 3)2 resuelve el ejercicio de un vistazo. Aprenderlas ahora es una inversión que se cobra durante todo el curso y todo el siguiente.
Un atajo de cálculo mental
212 = (20 + 1)2 = 400 + 40 + 1 = 441
19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399
Confundir la suma por diferencia con el cuadrado. Cuando los signos son distintos, los términos cruzados se cancelan y queda una resta de cuadrados.
(a + b)(a − b) = a² + b²(a + b)(a − b) = a² − b²Compruébalo con números: (5 + 3)(5 − 3) = 8 · 2 = 16, y 25 − 9 = 16 ✓