Multiplicar polinomios es aplicar la propiedad distributiva a lo bestia: cada término por cada término. Es la operación que hay detrás de las identidades notables y de las ecuaciones de segundo grado del curso que viene.
Monomio por polinomio: la propiedad distributiva
El monomio multiplica a todos los términos:
3x · (2x2 − 4x + 1) = 6x3 − 12x2 + 3x
Polinomio por polinomio
Cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y después se reducen los semejantes:
(x + 2) · (x + 3)
Los cuatro productos:
- x · x = x2
- x · 3 = 3x
- 2 · x = 2x
- 2 · 3 = 6
x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
Cuántos productos salen
Si el primero tiene m términos y el segundo n, salen m · n productos. Contarlos antes de empezar y comprobar al final que están todos es la forma más rápida de no dejarse ninguno.
El grado del producto
grado del producto = suma de los grados
Grado 2 por grado 3 da grado 5, siempre. Es la comprobación de un vistazo.
Otras dos comprobaciones
- El término independiente del producto es el producto de los términos independientes: en el ejemplo, 2 · 3 = 6. ✓
- Sustituyendo x = 1: (1 + 2)(1 + 3) = 3 · 4 = 12, y en el resultado 1 + 5 + 6 = 12. ✓
Las dos juntas dejan poquísimo margen a un error inadvertido.
Por qué esta sesión importa
Multiplicar (x + 2) por (x + 3) es lo que hay detrás de las identidades notables de la sesión siguiente, y hacerlo al revés es factorizar. Todo el álgebra de aquí en adelante se apoya en esto.
Multiplicar solo los primeros términos entre sí y los segundos entre sí. Hay que multiplicar todos con todos: en dos binomios salen cuatro productos.
(x + 2)(x + 3) = x² + 6x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6Comprobación con números: si x = 1, el producto es 3 · 4 = 12, y x² + 5x + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 ✓