Sacar factor común es la propiedad distributiva del revés, y es la primera técnica de factorización que aprendes. Sirve para simplificar fracciones algebraicas y para resolver ecuaciones sin fórmula.
La propiedad distributiva, del revés
Hasta ahora se ha usado así:
3(x + 2) = 3x + 6
Sacar factor común es recorrer el camino contrario: mirar 3x + 6 y darse cuenta de que se puede escribir como 3(x + 2).
Cómo se hace
- Se busca lo que todos los términos tienen en común: el m.c.d. de los coeficientes y las letras que aparezcan en todos, con el menor exponente.
- Se saca fuera y se divide cada término entre ello.
6x + 9 = 3(2x + 3)
4x2 − 6x = 2x(2x − 3)
En el segundo, los coeficientes 4 y 6 tienen en común el 2, y los dos términos llevan x: el de menor exponente es x1.
La comprobación es inmediata
Multiplica lo que has sacado por lo del paréntesis. Si vuelve a salir la expresión de partida, está bien. Es la comprobación más rápida de todo el álgebra.
2x(2x − 3) = 4x2 − 6x ✓
Sacar todo lo que se pueda
Cuando el factor común es el término entero
5x2 + 5x = 5x(x + 1)
Y si un término desaparece del todo, en su sitio queda un 1:
3x + 3 = 3(x + 1)
Dejar el hueco vacío en lugar del 1 es un error clásico: 3(x) no vale 3x + 3.
Para qué sirve
Para resolver ecuaciones. Una expresión factorizada vale cero cuando vale cero alguno de sus factores, y eso convierte una ecuación difícil en dos fáciles. Es la herramienta central de la unidad 8.
x2 − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 o x = 3
Y para simplificar fracciones algebraicas
4x2 − 6x2x = 2x(2x − 3)2x = 2x − 3
Es lo mismo que simplificar 1218: se busca el factor común y se tacha arriba y abajo.
Dejar un hueco cuando el término coincide con el factor que se saca. Ahí no queda nada: queda un 1.
4x² − 2x = 2x(2x − 0)4x² − 2x = 2x(2x − 1)Comprobación inmediata: multiplica de vuelta. 2x · 2x = 4x² y 2x · (−1) = −2x ✓