Variaciones porcentuales encadenadas

Dos porcentajes seguidos no se suman: se encadenan. Es el error que aparece en todos los escaparates de rebajas y en todas las noticias sobre subidas de precios.

Dos porcentajes seguidos no se suman

Un artículo sube un 20 % y después baja un 20 %. ¿Se queda igual? No.

100 · 1,20 = 120 120 · 0,80 = 96

Acaba costando 96 €, un 4 % menos que al principio. La razón es que el 20 % de subida se calculó sobre 100 y el 20 % de bajada sobre 120: son cantidades distintas.

El índice global

Con los índices, una cadena de variaciones se resuelve en una sola línea:

1,20 · 0,80 = 0,96 → el resultado es el 96 % del original, es decir, un 4 % menos

Y ese índice global sirve para cualquier cantidad de partida.

Un descuento tras otro

«Un 30 % de descuento y, en caja, un 10 % más». No es un 40 %:

0,70 · 0,90 = 0,63 → se paga el 63 %, o sea un 37 % de descuento

Siempre sale algo menos que la suma, porque el segundo descuento se aplica sobre una cantidad ya rebajada.

Dos subidas seguidas

Aquí ocurre lo contrario: sale algo más que la suma.

1,10 · 1,10 = 1,21 → dos subidas del 10 % son un 21 %, no un 20 %

Ese 1 % de más es el interés compuesto en miniatura: la segunda subida se aplica también sobre lo que subió la primera.

Varios periodos iguales: una potencia

Si la misma variación se repite n veces, el índice se eleva a n:

valor final = valor inicial · índiceⁿ

Un capital de 1.000 € al 3 % anual durante 4 años:

1.000 · 1,03⁴ = 1.125,51 €

Aquí se ve para qué servían las potencias de la unidad 4.

El orden no importa

1,20 · 0,80 y 0,80 · 1,20 dan lo mismo, porque multiplicar es conmutativo. Da igual si primero suben el precio y luego rebajan, o al revés: se acaba pagando lo mismo.