Extraer factores es lo que convierte una raíz fea en una manejable, y es la forma en la que se entregan los resultados con radicales de aquí en adelante. Todo consiste en buscar cuadrados dentro de la raíz.
Sacar de la raíz lo que ya está al cuadrado
√50 no es exacta, pero 50 = 25 · 2 y el 25 sí lo es. Aprovechando que la raíz se reparte en el producto:
√50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
Eso es extraer un factor. El resultado, 5√2, es más manejable y más exacto que escribir 7,07.
El método
- Se descompone el número en factores primos.
- Cada pareja de factores iguales sale convertida en uno solo.
- Lo que queda desparejado se queda dentro.
√72 = √(23 · 32) = √(22 · 2 · 32) = 2 · 3 · √2 = 6√2
Dicho en exponentes: se divide cada exponente entre 2; el cociente sale fuera y el resto se queda dentro.
Ejemplos resueltos
| Raíz | Descomposición | Resultado |
|---|---|---|
| √8 | 23 | 2√2 |
| √18 | 2 · 32 | 3√2 |
| √75 | 3 · 52 | 5√3 |
| √98 | 2 · 72 | 7√2 |
Introducir un factor
El camino inverso: meter dentro lo de fuera, elevándolo al cuadrado.
3√5 = √(32 · 5) = √45
Para qué sirve
Para comparar raíces sin calcular decimales y para sumarlas. Estas dos parecían imposibles de sumar:
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
Al extraer factores han resultado ser raíces del mismo número, y entonces sí se suman.
Sacar un factor sin haberlo escrito como cuadrado. Solo sale de la raíz lo que está elevado al cuadrado, y sale una sola vez.
√50 = 5√10√50 = √(25 · 2) = 5√2Comprobación: 5√2 ≈ 7,07 y √50 ≈ 7,07 ✓. Con 5√10 ≈ 15,8 ni siquiera se parece.