La fracción generatriz es la que demuestra que un decimal periódico es un número racional corriente. Y sirve para operar con él de forma exacta, sin arrastrar «treses» hasta el infinito.
Qué es la generatriz
La fracción generatriz de un decimal periódico es la fracción que lo produce. Es la prueba de que los periódicos son racionales: todos vienen de una fracción.
Periódico puro
El periodo empieza justo en la coma. La regla:
- Arriba: el número entero completo (sin coma) menos la parte entera.
- Abajo: tantos nueves como cifras tenga el periodo.
2,3 = 23 − 29 = 219 = 73
0,45 = 45 − 099 = 4599 = 511
Periódico mixto
Hay cifras entre la coma y el periodo. La regla se amplía:
- Arriba: el número entero completo (sin coma) menos la parte que no se repite (entera + anteperiodo).
- Abajo: tantos nueves como cifras del periodo, seguidos de tantos ceros como cifras del anteperiodo.
1,23 = 123 − 1290 = 11190 = 3730
De dónde sale la regla
Con x = 2,3 = 2,3333…, se multiplica por 10 para desplazar la coma un lugar (una cifra de periodo):
10x = 23,3333…
x = 2,3333…
Al restar, las colas infinitas se van porque son idénticas:
9x = 21 → x = 219 = 73
Ese 9 es el «nueve» de la regla, y viene de 10 − 1. Con dos cifras de periodo se multiplicaría por 100 y saldría 99.
Siempre se comprueba
Divide la fracción obtenida y mira si reaparece el decimal. 73 = 7 ÷ 3 = 2,3333… ✓ Es la comprobación más rápida que hay, y aquí hace falta: la regla del mixto se equivoca sola si se cuentan mal los ceros.
Tratar un periódico puro como si fuera exacto. Debajo de un periódico puro van nueves, no ceros.
0,7̂ = 7100,7̂ = 79 (que es 0,777…)Comprueba dividiendo: 7 ÷ 9 = 0,777… ✓, mientras que 7 ÷ 10 = 0,7 exacto, que es otro número.