Factorizar, m.c.d. y m.c.m. vuelven en 2.º porque son la herramienta con la que se suman fracciones y se simplifican expresiones. Ya no son un tema aparte: son una técnica de uso diario.
Todo número compuesto se descompone en primos
Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… El resto (salvo el 1, que no es ni primo ni compuesto) son compuestos, y cada uno se puede escribir como producto de primos de una única manera.
Para descomponer se va dividiendo entre primos, de menor a mayor, hasta llegar a 1:
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |
360 = 23 · 32 · 5
M.c.d.: comunes con el menor exponente
El máximo común divisor de dos números es el mayor número que divide a los dos. Con las descomposiciones a la vista se lee directamente: se cogen los factores comunes elevados al menor exponente.
72 = 23 · 32 108 = 22 · 33
m.c.d.(72, 108) = 22 · 32 = 36
M.c.m.: todos con el mayor exponente
El mínimo común múltiplo es el menor número que es múltiplo de los dos. Se cogen todos los factores, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
m.c.m.(72, 108) = 23 · 33 = 216
Una comprobación que ahorra disgustos
Para dos números cualesquiera se cumple siempre:
m.c.d.(a, b) · m.c.m.(a, b) = a · b
Con 72 y 108: 36 · 216 = 7.776, y 72 · 108 = 7.776. ✓ Si no cuadra, hay un error en alguna de las dos.
Dos casos rápidos
- Si uno es múltiplo del otro, el m.c.d. es el pequeño y el m.c.m. es el grande. Con 6 y 24: m.c.d. = 6 y m.c.m. = 24.
- Si no comparten ningún primo (se llaman primos entre sí), el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es el producto. Con 8 y 15: m.c.d. = 1 y m.c.m. = 120.
Quedarse solo con los primos comunes al calcular el mínimo común múltiplo. En el m.c.m. entran todos los primos, comunes y no comunes, con el exponente mayor.
12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3² → m.c.m. = 2 · 3 = 6m.c.m. = 2² · 3² = 36 (y 6 ni siquiera es múltiplo de 12)Comprobación que no falla: m.c.d. · m.c.m. = producto de los dos números. 6 · 36 = 216 = 12 · 18 ✓