La simetría central refleja respecto de un punto: cada punto va a parar al otro lado del centro, a la misma distancia. Es exactamente lo mismo que un giro de media vuelta.
Reflejar respecto de un punto
Una simetría central transforma cada punto en otro que está alineado con el centro, a la misma distancia y al otro lado.
El centro de simetría es el único punto que no se mueve.
Con coordenadas, si el centro es el origen
(x, y) → (−x, −y)
Se cambia el signo a las dos coordenadas. El punto (3, 2) va a parar a (−3, −2).
El triángulo y su simétrico respecto del origen: cambian las dos coordenadas de signo.
Es lo mismo que un giro de 180°
Eso explica algo que sorprende: en una simetría central la figura no queda como en un espejo. Queda como si la hubieras girado media vuelta, que es otra cosa.
Comparación de las dos simetrías
| Axial | Central | |
|---|---|---|
| Se define con | una recta (eje) | un punto (centro) |
| Puntos fijos | todos los del eje | solo el centro |
| Coordenadas que cambian | una | las dos |
| Tipo | inverso | directo |
| Equivale a | — | giro de 180° |
Con centro distinto del origen
Si el centro es (a, b), la regla se generaliza:
(x, y) → (2a − x, 2b − y)
El centro tiene que quedar en el punto medio entre cada punto y su imagen, y esa fórmula es justamente la del punto medio despejada.
Aplicarla dos veces
Devuelve la figura original, igual que la axial: dos medias vueltas son una vuelta completa.
Cambiar solo una de las dos coordenadas, que es lo que hacen las simetrías axiales. Aquí cambian las dos.
Simetría central en el origen: (x, y) → (−x, y)(x, y) → (−x, −y)Y por eso coincide con el giro de 180°: los dos mandan el punto justo al lado opuesto.