Solo existen cinco poliedros regulares, y no es una casualidad: se puede demostrar en cinco líneas que no puede haber un sexto. Son los dados de los juegos de rol y las formas de muchos virus y cristales.
Solo hay cinco, y no puede haber más
Un poliedro regular tiene todas las caras iguales y regulares, y en cada vértice concurre el mismo número de aristas. Se demuestra que solo existen cinco, y por eso se les llama sólidos platónicos.
| Nombre | Caras | Forma de la cara | Vértices | Aristas |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | 4 | triángulo | 4 | 6 |
| Cubo o hexaedro | 6 | cuadrado | 8 | 12 |
| Octaedro | 8 | triángulo | 6 | 12 |
| Dodecaedro | 12 | pentágono | 20 | 30 |
| Icosaedro | 20 | triángulo | 12 | 30 |
Los nombres son el número de caras en griego: tetra cuatro, hexa seis, octa ocho, dodeca doce, icosa veinte.
Por qué solo cinco
En cada vértice tienen que juntarse al menos tres caras, y la suma de sus ángulos tiene que ser menor de 360°: si llegara a 360° quedaría plano y no se cerraría.
- Con triángulos (60°): caben 3, 4 o 5 (180°, 240°, 300°). Con 6 sale 360° y queda plano. → tetraedro, octaedro, icosaedro.
- Con cuadrados (90°): solo caben 3 (270°). → cubo.
- Con pentágonos (108°): solo caben 3 (324°). → dodecaedro.
- Con hexágonos (120°): tres ya dan 360°. Imposible.
Todos cumplen Euler
Comprobación con el dodecaedro: 12 + 20 = 32 y 30 + 2 = 32 ✓
Dónde aparecen
En los dados de rol (d4, d6, d8, d12, d20 son exactamente los cinco), en cristales minerales, en virus y en balones. El balón de fútbol clásico es un icosaedro con las puntas cortadas.
Caras y vértices se intercambian
Fíjate en la tabla: el cubo tiene 6 caras y 8 vértices; el octaedro, 8 y 6. El dodecaedro tiene 12 y 20; el icosaedro, 20 y 12. Se llaman duales: uniendo los centros de las caras de uno sale el otro.
Llamar regular a un poliedro con caras regulares pero distintas entre sí. Para ser regular, todas las caras tienen que ser el mismo polígono regular.
Un prisma hexagonal con caras cuadradas y hexagonales es regularNo lo es: mezcla dos polígonos distintos. Regulares solo hay cincoLos cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.