La pirámide es el prisma que acaba en punta, y trae la novedad de tener dos alturas distintas: la del cuerpo y la de cada cara. Distinguirlas es todo el trabajo de esta lección.
Una base y caras que acaban en punta
Una pirámide tiene una sola base (un polígono) y las caras laterales son triángulos que se juntan en un punto llamado vértice o ápice.
Se nombra por su base: pirámide triangular (el tetraedro), cuadrangular, pentagonal, hexagonal.
Dos alturas que no son la misma
| Medida | Qué es |
|---|---|
| Altura (h) | del vértice al centro de la base, perpendicular |
| Apotema de la pirámide (a) | del vértice al punto medio de una arista de la base |
Y las dos están relacionadas por Pitágoras, con el apotema de la base:
a2 = h2 + (apotema de la base)2
El desarrollo plano
Al desplegarla quedan la base y tantos triángulos como lados tenga. Cada triángulo tiene por base una arista y por altura la apotema de la pirámide:
Área lateral = perímetro de la base × apotema2
Sale de sumar las áreas de todos los triángulos: cada uno es lado × apotema2, y todos los lados juntos son el perímetro.
Área total = área lateral + área de la base
Una sola base, así que se suma una vez, no dos como en el prisma.
El volumen: un tercio del prisma
Volumen = área de la base × altura3
Una pirámide ocupa exactamente un tercio del prisma que tiene su misma base y su misma altura. Se puede comprobar llenando de arena una pirámide y vaciándola en el prisma: hacen falta tres veces justas.
Un ejemplo
Pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado, altura 4 cm y apotema 5 cm:
- Área de la base: 36 cm².
- Perímetro: 24 cm. Área lateral: (24 · 5) ÷ 2 = 60 cm².
- Área total: 60 + 36 = 96 cm².
- Volumen: (36 · 4) ÷ 3 = 48 cm³.
Contar solo las caras laterales. Una pirámide cuadrangular tiene cuatro triángulos y la base: cinco caras.
Una pirámide de base cuadrada tiene 4 carasTiene 5: los cuatro triángulos laterales y el cuadrado de la baseCompruébalo con Euler: 5 caras + 5 vértices = 8 aristas + 2 ✓