Con los triángulos basta menos para asegurar la semejanza: dos ángulos iguales ya la garantizan. De ahí sale el teorema de Tales y el truco clásico de medir la altura de un edificio con su sombra.
Con los triángulos basta menos
Comprobar la semejanza de dos figuras exige mirar todos los ángulos y todos los lados. Con los triángulos no hace falta: basta con uno de estos tres criterios.
| Criterio | Basta con… |
|---|---|
| AA | dos ángulos iguales |
| LLL | los tres lados proporcionales |
| LAL | dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos igual |
El teorema de Tales
Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas cualesquiera, los segmentos que determinan son proporcionales:
Dos rectas cortadas por paralelas: los segmentos que se forman guardan la misma proporción.
ab = a'b'
El caso más frecuente: el triángulo
Si una recta paralela a un lado corta a un triángulo, el triángulo pequeño que aparece es semejante al grande. Y esto se ve con el criterio AA: comparten un ángulo, y los otros dos son iguales por ser ángulos entre paralelas (unidad 8 de 1.º).
Con eso se plantea una proporción y se despeja lo que falte.
La aplicación clásica: medir sin subir
Un árbol proyecta una sombra de 12 m. Al mismo tiempo, un palo de 1 m proyecta una sombra de 1,5 m. Los rayos del sol llegan paralelos, así que los dos triángulos son semejantes:
altura del árbol12 = 11,5 → altura = 121,5 = 8 m
Es como midió Tales la altura de la pirámide de Keops, hace veintiséis siglos, sin subirse a ella.
El orden de la proporción
Aplicar Tales sin comprobar que las rectas son paralelas. Sin paralelismo no hay proporción que valga.
Aplico Tales a dos rectas cualesquiera que cortan a otras dosLas rectas que cortan tienen que ser paralelas; si no, los segmentos no son proporcionalesY al escribir la proporción, los dos numeradores tienen que ser de la misma figura.