Casi ninguna figura trae su triángulo rectángulo dibujado: hay que encontrarlo. Esa búsqueda es lo que resuelve diagonales, alturas y apotemas en toda la geometría que queda.
La idea: buscar el triángulo rectángulo escondido
El teorema solo vale en triángulos rectángulos, pero en casi cualquier figura se puede dibujar uno trazando una diagonal, una altura o un radio. Ese es el truco de toda la sesión.
La diagonal de un rectángulo
La diagonal parte el rectángulo en dos triángulos rectángulos de catetos a y b.
d = √(a2 + b2)
En un rectángulo de 30 × 40: d = √(900 + 1.600) = √2.500 = 50.
La diagonal de un cuadrado
Los dos catetos miden lo mismo, así que:
d = √(l2 + l2) = √(2l2) = l√2
La diagonal de un cuadrado es siempre el lado por √2 ≈ 1,41. En uno de lado 10: d ≈ 14,14.
La altura de un triángulo equilátero
La altura lo parte en dos triángulos rectángulos de hipotenusa l y cateto l2:
h = √(l2 − (l2)2)
En uno de lado 10: h = √(100 − 25) = √75 ≈ 8,66.
La apotema de un polígono regular
Con el radio (del centro a un vértice) y la mitad del lado se forma un triángulo rectángulo:
apotema = √(radio2 − (lado2)2)
Esto permite calcular el área de un hexágono o de un pentágono regular, que hará falta en la unidad siguiente.
El método, en tres pasos
- Dibujar la figura y trazar la línea que crea el triángulo rectángulo.
- Marcar cuál es la hipotenusa y cuáles los catetos.
- Aplicar el teorema, sumando o restando según toque.
El paso que se salta todo el mundo es el primero, y es el que decide si el ejercicio sale.
Suponer que la diagonal de un cuadrado mide el doble del lado. La diagonal sale de Pitágoras, y es el lado por √2 (aproximadamente 1,41 veces).
Cuadrado de lado 5 → diagonal 10diagonal = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07Comprobación de tamaño: la diagonal tiene que ser mayor que el lado y menor que la suma de dos lados.