Cuando el dato que falta es un cateto, el teorema se usa al revés: restando. Es el caso que más aparece en los problemas de escaleras, rampas y alturas.
El teorema, despejado
Con la hipotenusa (10) y un cateto (6), el otro sale restando: √(10² − 6²) = 8.
Si lo que falta es un cateto, se despeja de la misma fórmula:
a2 + b2 = c2 → a2 = c2 − b2 → a = √(c2 − b2)
Un ejemplo
Hipotenusa 13 cm y un cateto 5 cm:
a = √(132 − 52) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm
Lo primero: identificar la hipotenusa
Antes de operar hay que saber qué dato es la hipotenusa. Y es fácil: es el mayor de los que te den. Si te dan 13 y 5, la hipotenusa es 13 seguro.
En un enunciado, la hipotenusa suele ser la escalera apoyada, el cable tensado, la rampa o la diagonal: lo que va «en diagonal», no lo que va recto.
Los dos casos, juntos
| Lo que falta | Fórmula | Operación |
|---|---|---|
| la hipotenusa | c = √(a2 + b2) | sumar |
| un cateto | a = √(c2 − b2) | restar |
Una forma de no confundirse: si buscas el lado más largo, sumas; si buscas uno de los cortos, restas.
La comprobación
Un cateto tiene que ser menor que la hipotenusa. Si te sale mayor, hay un error de planteamiento: probablemente has tomado por hipotenusa el dato equivocado.
Un ejemplo con contexto
Una escalera de 5 m apoyada en una pared, con la base a 3 m del muro. ¿A qué altura llega?
La escalera es la hipotenusa (5), la distancia al muro un cateto (3), y la altura el otro:
altura = √(25 − 9) = √16 = 4 m
Restar en el orden equivocado. Siempre es hipotenusa al cuadrado menos cateto al cuadrado, nunca al revés: si no, sale un número negativo dentro de la raíz.
cateto = √(6² − 10²) = √(36 − 100)cateto = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8La hipotenusa es el lado más largo, así que su cuadrado es el mayor y va primero.