Una función es continua si su gráfica se dibuja sin levantar el lápiz. Los saltos no son un fallo del dibujo: significan algo real, como que una tarifa cambie de golpe al pasar de hora.
Una gráfica que se dibuja sin levantar el lápiz
Una función es continua si su gráfica se puede recorrer entera sin levantar el lápiz del papel. Si hay que saltar, es discontinua, y a cada salto se le llama discontinuidad.
Una discontinuidad de salto: en x = 4 la función pega un brinco y hay que levantar el lápiz.
Qué significa un salto en la vida real
| Situación | Qué pasa en el salto |
|---|---|
| Tarifa de un aparcamiento por horas | al cumplirse la hora, el precio sube de golpe |
| Precio del billete según la edad | al cumplir 12 años cambia la tarifa |
| Número de alumnos matriculados por curso | solo hay datos en septiembre de cada año |
| Franqueo según el peso de una carta | al pasar de 20 g, sube el precio de golpe |
Las magnitudes que se miden de forma continua (temperatura, altura, distancia recorrida) suelen dar funciones continuas. Las que se cobran o cuentan a tramos dan saltos.
Continuo no es lo mismo que suave
Funciones definidas a trozos
Muchas funciones reales tienen una fórmula distinta en cada tramo. Un aparcamiento que cobra 2 € la primera hora y 1,50 € cada hora siguiente:
- De 0 a 1 hora: 2 €.
- De 1 a 2 horas: 3,50 €.
- De 2 a 3 horas: 5 €.
La gráfica es una escalera: tramos horizontales con un salto al cambiar de hora.
El dominio también puede tener huecos
Si una función no está definida para algún valor, ahí no hay gráfica. Por ejemplo, el precio por persona de un viaje de coste fijo, y = 600x, no tiene sentido para x = 0: no se puede repartir un coste entre cero personas.
Cómo se responde
Al analizar una gráfica se dice si es continua y, si no lo es, dónde están los saltos: «es discontinua en x = 4». El sitio se da siempre con el valor de x.
Dar por discontinua cualquier función definida a trozos. Si los trozos se encuentran en el mismo punto, la función es continua aunque tenga un pico.
Como está definida a trozos, tiene un saltoSolo hay salto si los dos trozos no llegan a la misma altura en el punto de cambioUn pico —un cambio brusco de dirección— no es un salto: ahí no se levanta el lápiz.