Los máximos y los mínimos son los puntos donde la función cambia de idea. En un problema son el momento de más calor, el precio más bajo o la altura máxima de un balón.
Los puntos donde la función cambia de sentido
Un máximo es un punto donde la función deja de crecer y empieza a decrecer: la cima. Un mínimo es donde deja de decrecer y empieza a crecer: el valle.
En el máximo la gráfica pasa de subir a bajar; en el mínimo, de bajar a subir.
Cómo se localizan
Se busca dónde la gráfica cambia de dirección. En una tabla, donde los valores dejan de subir y empiezan a bajar (o al revés):
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 5 | 7 | 4 | 1 |
Sube hasta x = 2 y a partir de ahí baja: hay un máximo en x = 2, y su valor es y = 7.
Dónde está y cuánto vale
Máximos y mínimos en los extremos
Si la función solo está definida en un tramo, los extremos del tramo también pueden ser el valor mayor o menor. En la gráfica de arriba, el valor más alto de todos está al final, en x = 10, aunque el «pico» esté en x = 3.
Por eso se distingue entre:
- Máximo relativo: más alto que sus vecinos inmediatos (el pico).
- Máximo absoluto: el valor más alto de toda la función.
Qué significan en un problema
| Contexto | El máximo suele ser… |
|---|---|
| Temperatura a lo largo del día | la hora más calurosa |
| Altura de una pelota lanzada | el punto más alto del vuelo |
| Beneficio de una empresa | el precio que más gana |
| Nivel de un embalse | el mes de más agua |
Encontrar el máximo suele ser el objetivo del problema: cuándo conviene vender, a qué velocidad se gasta menos, qué precio da más beneficio.
Una función puede no tener ninguno
Una recta creciente sube siempre: no tiene ni máximo ni mínimo. Los máximos y mínimos aparecen cuando la gráfica cambia de dirección.
Descartar los extremos del intervalo al buscar el máximo. El valor más alto puede estar justo al principio o justo al final del tramo dibujado.
Como la gráfica no hace ninguna cumbre, no tiene máximoSi crece todo el rato, el máximo está en el extremo derecho del intervaloY las dos preguntas son distintas: «dónde» se contesta con la x, «cuánto vale» con la y.