Todo lo que crece multiplicándose es exponencial: una población de bacterias, el dinero a interés compuesto, un contagio. Y todo lo que decrece por porcentaje también: un fármaco eliminándose de la sangre, un material radiactivo. Es la función que describe el cambio proporcional.
La función
f(x) = ax, con a > 0 y a ≠ 1
| Propiedad | Valor |
|---|---|
| Dominio | todo ℝ |
| Recorrido | (0, +∞): nunca vale cero ni negativo |
| Pasa siempre por | (0, 1), porque a0 = 1 |
| Asíntota horizontal | y = 0, por la izquierda si a > 1 |
Si a > 1 crece; si 0 < a < 1 decrece. Y crece más deprisa que cualquier polinomio: por muy grande que sea el exponente de x, la exponencial acaba ganando.
Una población de 100 bacterias que se duplica cada hora
- Al cabo de x horas hay N(x) = 100 · 2x.
- A las 3 horas: 100 · 23 = 100 · 8 = 800.
- A las 10 horas: 100 · 1024 = 102.400. En siete horas más se ha multiplicado por 128.
El número e
e = 2,71828… aparece al estudiar el interés compuesto continuo, y es la base que hace que la derivada de ex sea ella misma. Por eso en la unidad 11 todas las exponenciales acaban escritas en base e.
2x y 2x no tienen nada que ver. Una crece multiplicándose y la otra sumando, y la diferencia es enorme en cuanto x crece.
210 = 20210 = 1024, mientras que 2 · 10 = 20En la exponencial la x está arriba: es el número de veces que se multiplica, no un factor.