Componer es encadenar dos procesos: si una función pasa de euros a dólares y otra de dólares a yenes, la composición pasa de euros a yenes. Y la inversa es deshacer el camino, que es lo que se hace cada vez que se despeja una variable.
Composición
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
Se lee de derecha a izquierda: primero actúa f y después g. Es la fuente de la mitad de los errores en esta lección.
Con f(x) = x + 1 y g(x) = x2, calcular las dos composiciones
- (g ∘ f)(x) = g(x + 1) = (x + 1)2.
- (f ∘ g)(x) = f(x2) = x2 + 1.
- No son iguales: la composición no es conmutativa. Con x = 2 una da 9 y la otra 5.
Función inversa
Es la que deshace lo que hizo f: f−1(f(x)) = x. Se calcula en tres pasos:
- Se escribe y = f(x).
- Se despeja x en función de y.
- Se intercambian los nombres.
Sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz y = x. Y solo existe si la función es inyectiva: si dos valores distintos dieran la misma imagen, la vuelta no sabría a cuál regresar.
f−1 no es 1:f(x). El −1 de arriba no es un exponente: es notación de «la que deshace».
Si f(x) = 2x, entonces f−1(x) = 1:(2x)Si f(x) = 2x, entonces f−1(x) = x:2Compruébalo: f(f−1(6)) = f(3) = 6 ✓.