Es la forma de las antenas parabólicas y de los faros de un coche, y no por casualidad: todos los rayos que llegan paralelos al eje se concentran en el foco, y al revés. También es la trayectoria de cualquier cosa lanzada, si se desprecia el rozamiento.
La definición
Los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo —el foco— y de una recta fija —la directriz—. Es la única de las cuatro que se define con un punto y una recta, no con dos puntos.
y2 = 2px
donde p es la distancia del foco a la directriz. El foco está en (p:2, 0) y la directriz es x = −p:2.
Las cuatro orientaciones
| Ecuación | Se abre hacia |
|---|---|
| y2 = 2px | la derecha |
| y2 = −2px | la izquierda |
| x2 = 2py | arriba |
| x2 = −2py | abajo |
La variable que no está al cuadrado marca la dirección en la que se abre, y el signo dice hacia qué lado.
Foco y directriz de y2 = 12x
- Comparo con y2 = 2px: 2p = 12, así que p = 6.
- Foco: (p:2, 0) = (3, 0).
- Directriz: x = −p:2 = −3.
- Comprobación: el vértice (0,0) está a 3 del foco y a 3 de la directriz ✓.
La que ya se conocía
y = ax2 + bx + c, la de toda la vida desde 3.º de la ESO, es una parábola que se abre arriba o abajo. Es el mismo objeto escrito de otra forma.
Confundir p con la distancia del vértice al foco. p es la distancia del foco a la directriz; del vértice al foco hay la mitad.
En y2 = 12x, el foco está en (6, 0)2p = 12 → p = 6 → foco en (p:2, 0) = (3, 0)Del coeficiente al foco hay que dividir dos veces: primero entre 2 para sacar p, y otra vez entre 2 para el foco.