Una recta queda determinada por un punto y una dirección. Escribirla como ecuación es lo que permite después preguntarle cosas: si pasa por un punto, dónde corta a otra, qué ángulo forman. Sin ecuación no hay nada que calcular.
Lo que hace falta: un punto y un vector director
El vector director v = (v1, v2) marca la dirección. Con el punto P(p1, p2) ya está fijada la recta.
Las cuatro formas, y para qué sirve cada una
| Forma | Se escribe | Cómoda para |
|---|---|---|
| Vectorial | (x, y) = P + t·v | generar puntos dando valores a t |
| Paramétricas | x = p1 + tv1, y = p2 + tv2 | lo mismo, separado |
| Continua | (x − p1) : v1 = (y − p2) : v2 | leer el punto y el director de un vistazo |
| General | Ax + By + C = 0 | casi todo lo demás |
Un dato que ahorra mucho: en la general, (A, B) es un vector perpendicular a la recta, y (−B, A) es un vector director.
Recta por P(1, 2) con director (3, 4)
- Paramétricas: x = 1 + 3t, y = 2 + 4t.
- Continua: (x − 1) : 3 = (y − 2) : 4.
- Quito denominadores: 4(x − 1) = 3(y − 2) → 4x − 4 = 3y − 6.
- General: 4x − 3y + 2 = 0.
La pendiente
m = v2 : v1 = −A : B
Es lo que sube la recta por cada unidad que avanza. Con ella y un punto sale la forma punto-pendiente: y − y0 = m(x − x0).
En la ecuación general, (A, B) no es el vector director: es el perpendicular. Confundirlos da rectas giradas 90°.
En 4x − 3y + 2 = 0 el director es (4, −3)En 4x − 3y + 2 = 0 el director es (3, 4), y (4, −3) es el perpendicularDel vector (A, B) al director se pasa intercambiando y cambiando un signo.