Saber si dos rectas se cortan, y dónde, es la pregunta que resuelve desde un problema de trayectorias hasta el punto de equilibrio de dos rectas de coste. Y la distancia de un punto a una recta es la que mide el error de un ajuste.
Dos rectas: tres casos
| Caso | Cómo se reconoce | Puntos comunes |
|---|---|---|
| Secantes | directores no proporcionales | uno |
| Paralelas | directores proporcionales, distinto término independiente | ninguno |
| Coincidentes | toda la ecuación proporcional | infinitos |
Con las ecuaciones generales Ax + By + C = 0 y A'x + B'y + C' = 0, se comparan los cocientes A:A', B:B' y C:C'.
Punto de corte
Se resuelve el sistema con las dos ecuaciones. Si sale una solución, ese es el punto; si sale un absurdo (0 = 5), son paralelas; si sale una identidad (0 = 0), son coincidentes.
Distancia de un punto a una recta
d(P, r) = |Ap1 + Bp2 + C| : √A2 + B2
Se sustituye el punto en la ecuación, se toma valor absoluto y se divide entre el módulo de (A, B). Si el punto está en la recta, el numerador sale cero y la distancia también.
Distancia de P(1, 1) a la recta 3x + 4y − 12 = 0
- Sustituyo: 3·1 + 4·1 − 12 = 3 + 4 − 12 = −5.
- Valor absoluto: 5.
- Módulo de (3, 4): √25 = 5.
- Distancia: 5 : 5 = 1.
Olvidar el valor absoluto del numerador. Una distancia negativa no significa nada, y el signo solo dice a qué lado de la recta cae el punto.
d = −5 : 5 = −1d = |−5| : 5 = 1Toda distancia es positiva o cero.