Es la máquina de medir ángulos entre vectores, y la forma más rápida de comprobar si dos direcciones son perpendiculares. En física es el trabajo de una fuerza: solo cuenta la parte de la fuerza que va en la dirección del movimiento, y eso es exactamente lo que calcula.
Las dos caras de la misma operación
u · v = u1v1 + u2v2
u · v = |u|·|v|·cos α
La primera se calcula; la segunda explica qué significa. Igualándolas se despeja el ángulo:
cos α = (u · v) : (|u|·|v|)
El resultado es un número, no un vector. De ahí el nombre «escalar».
El uso que más se repite: perpendicularidad
u ⊥ v ⟺ u · v = 0
Porque cos 90° = 0. Comprobar si dos vectores son perpendiculares son dos multiplicaciones y una suma.
¿Son perpendiculares (3, 4) y (−4, 3)?
- Producto escalar: 3·(−4) + 4·3 = −12 + 12 = 0.
- Al dar cero, sí son perpendiculares.
- Truco que conviene saber: el perpendicular a (a, b) es (−b, a) —se intercambian y se cambia un signo—.
El producto escalar da un número, no un vector. Escribir el resultado entre paréntesis es señal de que no se ha entendido qué se ha calculado.
(3, 4) · (1, 2) = (3, 8)(3, 4) · (1, 2) = 3 + 8 = 11Se multiplican las componentes y se suman: el resultado es un solo número.