Aparecen en cuanto hay que simplificar una expresión con sen 2α o pasar de un cuadrado a un ángulo simple. En 2.º de Bachillerato son imprescindibles para integrar sen2 y cos2 , que sin ellas no se pueden integrar.
Ángulo doble: es la suma con b = a
sen 2a = 2·sen a·cos a
cos 2a = cos2 a − sen2 a
No son fórmulas nuevas: son las de la suma poniendo los dos ángulos iguales. Y usando la fundamental, el coseno doble tiene otras dos caras:
cos 2a = 1 − 2sen2 a = 2cos2 a − 1
Ángulo mitad: es la anterior despejada
De cos 2a = 1 − 2sen2 a se despeja sen2 a, y llamando α = 2a:
sen α2 = ±√1 − cos α2 cos α2 = ±√1 + cos α2
El signo lo decide el cuadrante en el que caiga la mitad del ángulo, no el ángulo original.
Si sen a = 0,6 y cos a = 0,8, calcular sen 2a y cos 2a
- sen 2a = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.
- cos 2a = 0,82 − 0,62 = 0,64 − 0,36 = 0,28.
- Comprobación: 0,962 + 0,282 = 0,9216 + 0,0784 = 1 ✓.
sen 2a no es 2sen a. El seno no es lineal, y con un ejemplo se ve en dos segundos.
sen 60° = 2·sen 30° = 2·0,5 = 1sen 60° = 0,866, y 2·sen 30°·cos 30° = 2·0,5·0,866 = 0,866 ✓Ninguna razón trigonométrica se puede sacar del paréntesis multiplicando.