Todo lo que se puede medir sin poder llegar —la altura de un edificio, la anchura de un río, la distancia a un barco— se mide con esto. La trigonometría nació para eso, y el nombre lo dice: medir triángulos.
Las tres razones
En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo α:
| Razón | Es el cociente | Se recuerda |
|---|---|---|
| sen α | cateto opuesto : hipotenusa | SOH |
| cos α | cateto contiguo : hipotenusa | CAH |
| tg α | cateto opuesto : cateto contiguo | TOA |
Y de ahí, dividiendo: tg α = sen α : cos α.
Por qué no dependen del tamaño
Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes, así que sus lados están en la misma proporción. El seno de 30° vale 0,5 en un triángulo de 1 metro y en uno de 100 kilómetros: es una propiedad del ángulo, no del triángulo.
Calcular las razones de α en un triángulo de catetos 3 y 4
- Hipotenusa por Pitágoras: √3² + 4² = √25 = 5.
- Si α es el ángulo opuesto al cateto 3: sen α = 3:5 = 0,6.
- cos α = 4:5 = 0,8.
- tg α = 3:4 = 0,75. Y se comprueba: 0,6 : 0,8 = 0,75 ✓.
La relación fundamental
sen 2α + cos 2α = 1
Es Pitágoras dividido entre la hipotenusa al cuadrado, nada más. Con ella, sabiendo una razón se sacan las otras dos.
«Opuesto» y «contiguo» dependen del ángulo que se mire, no del triángulo. El mismo lado es opuesto para un ángulo y contiguo para el otro.
En un triángulo de catetos 3 y 4, sen α = 0,6 para los dos ángulos agudosPara uno vale 0,6 y para el otro 0,8: cada ángulo tiene su propio cateto opuestoAntes de escribir la razón, señala con el dedo cuál es el cateto opuesto a ese ángulo.