Aparecen en cuanto hay un cociente: rendimientos, concentraciones, velocidades medias. Y tienen una trampa que no tienen las demás, porque el denominador puede ser negativo y no se sabe cuándo.
La regla que no se puede saltar
No se multiplica por el denominador. Al no saber su signo, no se sabe si hay que dar la vuelta a la desigualdad. Lo que se hace es dejar un solo cociente comparado con cero y estudiar signos.
Resolver (x − 1) : (x + 2) ≥ 0
- Ya está en la forma buena: un cociente comparado con cero.
- Puntos críticos: el numerador se anula en x = 1 y el denominador en x = −2.
- Tabla en los tres trozos. En x = −3: (−4):(−1) = 4 > 0 ✓. En x = 0: (−1):(2) < 0 ✗. En x = 2: (1):(4) > 0 ✓.
- Los extremos: x = 1 entra (el cociente vale 0 y se pide ≥). x = −2 no entra nunca: anula el denominador.
- Solución: (−∞, −2) ∪ [1, +∞).
Los extremos, uno por uno
| Punto crítico | Con ≥ o ≤ | Con > o < |
|---|---|---|
| Raíz del numerador | entra | no entra |
| Raíz del denominador | no entra nunca | no entra nunca |
Dónde se lía todo el mundo
Multiplicar por el denominador para «quitarlo» es el error que invalida el ejercicio entero, porque su signo cambia según el trozo.
(x − 1):(x + 2) ≥ 0 → x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1Se estudian los signos de numerador y denominador por separadoEsa solución se deja fuera todo el trozo (−∞, −2), donde el cociente también es positivo.
En una frase: se deja un solo cociente comparado con cero, se estudian los signos, y las raíces del denominador nunca entran en la solución.