Un sistema con una recta y una circunferencia dice dónde se cortan; con una recta y una parábola, lo mismo. Es la herramienta con la que se calculan puntos de corte en toda la geometría analítica de las unidades 7 y 8.
El método casi siempre es sustitución
Se despeja una incógnita en la ecuación más sencilla —normalmente la de primer grado— y se lleva a la otra. Queda una ecuación con una sola incógnita.
Resolver y = x + 1, x2 + y2 = 25
- La primera ya está despejada. Sustituyo en la segunda: x2 + (x + 1)2 = 25.
- Desarrollo: x2 + x2 + 2x + 1 = 25 → 2x2 + 2x − 24 = 0 → x2 + x − 12 = 0.
- Soluciones: x = 3 y x = −4.
- Cada una da su y: con x = 3, y = 4; con x = −4, y = −3.
- Dos puntos de corte: (3, 4) y (−4, −3).
Cuántas soluciones esperar
| Sistema | Soluciones posibles |
|---|---|
| Recta y circunferencia | 2 (secante), 1 (tangente) o 0 (exterior) |
| Recta y parábola | 2, 1 o 0 |
| Dos circunferencias | 2, 1 o 0 |
Si al final sale una ecuación de segundo grado con discriminante negativo, no hay corte, y eso es una respuesta válida y con significado geométrico.
Dónde se lía todo el mundo
Cada valor de una incógnita hay que emparejarlo con el suyo. Mezclarlos da puntos que no están en ninguna de las dos curvas.
x = 3, x = −4, y = 4, y = −3 → cuatro puntos: (3,4), (3,−3), (−4,4), (−4,−3)Dos puntos: (3, 4) y (−4, −3), cada x con la y que sale al sustituirlaSustituye cada x en la ecuación despejada y empareja sobre la marcha.
En una frase: se despeja en la ecuación más sencilla, se sustituye en la otra, y cada valor se empareja con el que le corresponde.