Factorizar es escribir un polinomio como producto. Sirve para resolver ecuaciones —un producto vale cero si algún factor vale cero—, para simplificar fracciones y para deshacer las indeterminaciones 0/0 de los límites. Es, con diferencia, la técnica que más veces se usa en el resto del curso.
El orden en que se intenta
- Factor común primero, siempre. 2x2 − 4x = 2x(x − 2).
- Identidades notables, si se ven: x2 − 9 = (x + 3)(x − 3).
- Grado 2: la fórmula, y con las raíces p y q queda a(x − p)(x − q).
- Grado 3 o más: Ruffini probando los divisores del término independiente, hasta bajar a grado 2.
Factorizar x3 − 2x2 − 5x + 6
- El término independiente es 6: pruebo ±1, ±2, ±3, ±6.
- P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Ya tengo el factor x − 1.
- Ruffini con 1: queda el cociente x2 − x − 6.
- Ese es de grado 2: x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
- Resultado: (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Cuántas raíces tiene
Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces reales, y exactamente n contando las complejas y las repetidas. Si al factorizar salen tres factores de grado 1 en un polinomio de grado 3, ya no queda nada por buscar.
Dónde se lía todo el mundo
Un factor puede repetirse, y entonces esa raíz es doble. Pararse al encontrarla una vez deja el polinomio a medio factorizar.
x2 − 4x + 4 = (x − 2) · algox2 − 4x + 4 = (x − 2)2Después de aplicar Ruffini con una raíz, hay que volver a probar la misma: puede valer otra vez.
En una frase: se saca factor común, se prueban los divisores del término independiente con Ruffini y se termina con la fórmula de segundo grado.