Estos dos teoremas convierten «dividir» en «sustituir». Saber si x − 3 divide a un polinomio de grado cinco no exige hacer la división: basta con calcular P(3). Es la diferencia entre un minuto y diez segundos, y en un examen eso son dos ejercicios más.
Teorema del resto
El resto de dividir P(x) entre x − a es P(a)
No hay que dividir: se sustituye x por a y ya está.
Teorema del factor
x − a divide a P(x) ⟺ P(a) = 0
Es el caso particular del anterior con resto cero, y es el que se usa todo el rato: para factorizar hay que encontrar valores que anulen el polinomio.
¿Es x − 2 un factor de x3 − 3x2 + 4?
- Por el teorema del factor, basta comprobar si P(2) = 0.
- P(2) = 23 − 3·22 + 4 = 8 − 12 + 4 = 0.
- Sí lo es. Y además ahora sé que puedo dividir por x − 2 con resto cero, y bajar el grado a 2.
Dónde buscar las raíces enteras
Si un polinomio de coeficientes enteros tiene una raíz entera, esa raíz divide al término independiente. Por eso en Ruffini se prueban solo los divisores del último número, y no todos los enteros.
En x3 − 3x2 + 4 el término independiente es 4: solo hay que probar ±1, ±2 y ±4.
El signo. Si el divisor es x + 3, entonces a = −3, porque x + 3 = x − (−3). Cambiar ese signo da un resto que no tiene nada que ver.
Resto de dividir entre x + 3 → P(3)Resto de dividir entre x + 3 → P(−3)El valor que se sustituye es el que anula el divisor.