Dividir polinomios es lo que permite bajarle el grado a un problema. Una ecuación de grado 4 no se sabe resolver; la misma ecuación partida en dos factores de grado 2, sí. Y todo lo que viene después en el curso —factorizar, simplificar límites, integrar fracciones— empieza por una división.
La división, como la de siempre
Se divide igual que con números: se busca por qué hay que multiplicar el término de mayor grado del divisor para llegar al del dividendo, se resta y se repite. Y se cumple lo mismo:
D = d · c + r con grado(r) < grado(d)
Se para cuando el resto tiene grado menor que el divisor, no cuando da cero.
Ruffini: solo cuando el divisor es x − a
Es la misma división escrita sin las x, aprovechando que el divisor es de grado 1. Se escriben los coeficientes —todos, incluidos los ceros de los grados que faltan— y se baja, multiplica y suma.
Dividir x3 − 2x2 + 5 entre x − 3
- Coeficientes, con el 0 del grado que falta: 1, −2, 0, 5.
- Bajo el 1. Lo multiplico por 3 y lo sumo al −2: −2 + 3 = 1.
- 1 · 3 = 3, sumo al 0: 3.
- 3 · 3 = 9, sumo al 5: 14.
- Cociente x2 + x + 3 y resto 14.
Los grados que faltan se escriben con un cero. Saltárselos descoloca todos los coeficientes y el resultado no se parece en nada al bueno.
x3 − 8 entre x − 2 → coeficientes 1, −8x3 − 8 entre x − 2 → coeficientes 1, 0, 0, −8Un polinomio de grado 3 tiene siempre cuatro coeficientes, aunque tres sean cero.