Un número real positivo tiene dos raíces cuadradas; uno negativo, ninguna real. En complejos la regla se vuelve limpia y sin excepciones: todo complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas, y están repartidas por igual en una circunferencia.
La fórmula
Las n raíces n-ésimas de rα° son:
zk = (√rn)(α + 360°·k) : n con k = 0, 1, …, n−1
- El módulo es el mismo para las n: la raíz n-ésima del módulo.
- Los argumentos se van separando 360° : n cada vez.
Calcular las 3 raíces cúbicas de 890°
- Módulo de todas: √83 = 2.
- Primer argumento (k = 0): 90 : 3 = 30°.
- Los siguientes se separan 360 : 3 = 120°: 150° y 270°.
- Las tres raíces: 230°, 2150°, 2270°.
Cómo quedan dibujadas
Las n raíces están sobre una circunferencia de radio √rn y son los vértices de un polígono regular de n lados. Con eso, una vez calculada la primera, las demás salen solas sumando 360:n.
Dónde se lía todo el mundo
Con k = n no sale una raíz nueva: se vuelve a la primera. Por eso k llega hasta n−1 y ni uno más.
Las raíces cúbicas de 890° son 4: con k = 0, 1, 2 y 3Son 3. Con k = 3 sale 30 + 360 = 390° = 30°, que es la primera otra vezHay tantas raíces como indica el índice, ni una más.
En una frase: un complejo tiene n raíces n-ésimas, todas con el mismo módulo y separadas 360:n grados, formando un polígono regular.